В.И.КЛЕЙМЕНОВ

 

О НЕКОТОРЫХ ОСОБЕННОСТЯХ АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ


(или введение к статье "ТЕОРИЯ ТРЕХ Т")

 

В этой заметке не будет чего-то, чего вы не могли бы найти, например, в работах физиков и математиков. Её цель – обратить ваше внимание на некоторые особенности аксиоматических теорий, которые полезно иметь в виду, когда вы будете знакомиться с какой-либо теорией или сами попробуете построить некую теорию по некоему поводу.

Итак, как строится аксиоматическая теория? Сначала вводятся так называемые основные или неопределяемые понятия. Неопределяемые, потому что они не могут быть определены с помощью более простых понятий. Например, понятия точки, прямой и т.д. в эвклидовой геометрии. Когда мы говорим, что точка – основное понятие, то это означает, что все понимают, что это такое, без дальнейших объяснений. Откуда берётся это «все понимают» не очень ясно. Скорее всего, из коллективного опыта. Затем, посредством основных понятий, вводятся определения производных понятий. Например, определение треугольника, как фигуры, которая образованна тремя отрезками, соединяющими три не лежащие на одной прямой точки. Затем, формулируются аксиомы, т.е. некоторые утверждения, касательно этих понятий, принимаемые без доказательств. Например: через две точки можно провести только одну прямую. И, наконец, на базе введённых понятий и аксиом, используя правила формальной логики, доказываются некоторые положения, называемые теоремами. Например: площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

В математике на этом всё, как бы, кончается. В других науках происходит следующее. Мы смотрим, есть ли в нашем опыте то, что мы доказали, как теорему. Если есть, то говорим, что наша теория объяснила установленный опытом факт. Если в опыте не находим того, что доказали, как теорему, тогда говорим, что наша теория предсказывает что-то новое. Т.е. теория, с одной стороны, объясняет то, что нам уже известно, с другой, предсказывает нечто, чего мы ещё не знаем.

Предсказания бывают двух типов. Предположим, мы доказали теорему о связи пройденного телом пути со скоростью и временем его движения. Основываясь на этой общей теореме, можно предсказать, скажем, когда локомотив, вышедший из Санкт-Петербурга, прибудет в Москву. Это пример предсказания первого типа. Подобные предсказания можно было бы назвать задачами. Решил задачу, т.е. предсказал. Ценность научных теорий как раз и состоит в том, что, благодаря объяснению уже известного нам, они помогают решать огромное количество практических задач.

Предсказания второго типа – это предсказание новых свойств и новых явлений, т.е. таких свойств и явлений, про которые мы говорим, что ничего подобного раньше не наблюдали. Большая часть таких предсказаний, конечно, не сбывается, т.е. не верны. Но, всё-таки, иногда происходит "чудо", предсказания сбываются. И тогда мы произносим, что-нибудь вроде – "какая гениальная теория". А вот правильно или нет сделано предсказание, из самого предсказания не следует, это всегда решает опыт. Поэтому, когда вам говорят, что такой-то теоретик открыл новое явление, вас вводят в заблуждение. Ничего он не открыл, он просто предсказал нечто. А вот правильно предсказал или нет, может решить лишь экспериментатор, действительный открыватель нового. Ну, а наиболее "сумасшедшие" открытия и вовсе происходят не по предсказаниям теорий.

Про аксиомы
Откуда они берутся? Если взять математику, то такое впечатление (конечно, ложное), что они просто придумываются. В других науках картина более понятна. Здесь в качестве аксиом выступают, либо установленные опытом законы (в этом случае их считают абсолютно верными), либо гипотезы (предположения). В любом случае это утверждения, принимаемые без доказательств.

Про определения производных понятий
Часто можно услышать, про то или иное определение, что оно, мол, не верно. Вообще говоря, неверных определений не бывает. Они бывают хорошими, или плохими. Например, вы хотите дать определение понятия "стол". Если ваше определение получится таким, что стол нельзя будет спутать ни с кроватью, ни со стулом, ни с любым другим предметом обихода, тогда вы скажете, что получилось хорошее определение. Если же путаница будет присутствовать, то – плохое. То есть, задача определения – выделить из множества каких-либо сущностей некоторую его часть, т.е. какое-то подмножество. Если граница между подмножеством и остальной частью множества получается чёткая – имеем хорошее определение, размытая – имеем плохое определение.

Про то, какую теорию следует считать более правильной
Пусть для объяснения данных в какой-либо отрасли нашего знания мы построили две разные теории. Разные – значит опирающиеся на разные наборы определений и аксиом. Какую теорию следует считать более сильной, более "правильной"? Наверно, могут быть выбраны разные критерии. Можно выбрать такой: более сильной будем считать ту теорию, которая либо на равном наборе определений и аксиом доказывает большее число теорем (т.е. объясняет большее число опытных данных), либо которая доказывает то же самое количество теорем, но на более узком наборе определений и аксиом.

Если же имеется только одна теория, но она объясняет не все опытные данные, тогда можно поступить так: ввести дополнительную аксиому, и в рамках этой, таким образом "расширенной", теории объяснить то, что нельзя было объяснить раньше. Теория при этом будет объяснять большее число опытных данных, но при большем числе положений принимаемых без доказательств. Когда такой приём не помогает, остаётся последнее – включить само это недоказуемое в состав аксиом теории. Теория после этого определённо станет слабее. Если этот процесс увеличения числа аксиом придётся продолжить дальше, то рано или поздно все наши знания будут изложены в форме набора аксиом. Наука, построенная в своей объяснительной части из одних аксиом, есть учение. Многие современные науки, прежде всего гуманитарные, – это учения, т.е. ещё только преднауки.

Вера
Часто говорят, что, вот, в религиозных учениях всё принимается на веру, а вот в науке всё доказывается. Как мы видели в науках, а аксиоматические теории есть часть наук, веры тоже много. Все основные понятия теорий и все аксиомы – это область веры. Теперь после этих замечаний попробуем объяснить кое-что в нашем с вами поведении (например, почему человек каждый раз поступает именно так, как он поступает), выстраивая объяснение, по возможности, в форме аксиоматической теории.

Перейти к чтению статьи Теория трех "T" (к вопросу о смысле жизни)